均值不等式部分题型

不等式最值

• $x>0,\ y>0$，求 $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ 的最小值。
• $x+y=1$，求 $e^x+e^y$ 的最小值。
• $xy=e$，求 $\ln x\cdot \ln y$ 的最大值。
• 求 $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$ 的最大值。
• 求 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{4-x}$ 的最小值。
• $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$，求 $x+2y$ 的最大值。
• $a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{b}=10$，求 $a+b$ 的取值范围。

“1” 的代换

• $x+3y=xy$，求 $(2x+4y)_{\min}$。
• $x+y=1$，求 $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2y+4}{y}$ 的最小值。
• $a+b-ab=0$，求 $(6a+7b)_{\min}$。

多元均值

设 $x>0,\ y>0,\ z>0$。

• $x+y+z=1$，求 $xyz$ 的最大值。
• $2x+y+z=1$，求 $xyz$ 的最大值。
• $a>0,\ b>0,\ c>0$，$ax+by+cz=1$，求 $xyz$ 的最大值。
• 求 $x^2+\dfrac{1}{x}$ 的最小值。
• 求 $\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{x}$ 的最小值。
• 求 $\dfrac{y+z}{x} \cdot \dfrac{z+x}{y} \cdot \dfrac{x+y}{z}$ 的最小值。

柯西

• $a^2+b^2=5$，求 $3a+4b$ 的最大值。

权方和

• $x>y>0,\ x+y=1$，求 $\dfrac{2}{x+3y}+\dfrac{1}{x-y}$ 的最小值。
• $x+y=3$，求 $\dfrac{1}{3x+y}+\dfrac{1}{x+2y}$ 的最小值。